从经典强度理论到统一强度理论

说明：本文撰写于 2019 年 4 月末，作为「材料力学」课程的一项作业提交。撰写过程中较为仓促，未来得及将文中所引各项文献一一补齐；到现在，则感到工作量甚大，非一朝一夕可毕。故暂将目前的版本发布于网上，在之后有空时进一步补充相关信息。（2019 年 11 月 26 日）

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材料的强度是材料力学这门课程所研究的三项基本内容之一，也是最为重要的一个部分。在本门课程中，我们已经学习了一些基本的变形形式下对应的强度计算与判定准则，亦从理论上导出了若干基本变形之组合的强度判定准则。然而，对于更加复杂的材料受力状况，单向的应力状态判定就显得无能为力了；在这种情形下，最具有工程实用价值的判定方法，是将材料的复杂应力状态以特定的方式简化为较为简单的应力状态，并以这等效了的应力状态来表征材料的强度。这种「特定的方式」如何而来，便是强度理论所要研究的问题。

材料强度理论的发展历史已相当久远。1638 年，意大利科学家 Galileo 在其代表作品《关于两门新科学的对话》中提出了两大「新科学」，其中之一就是材料的强度理论¹，可见强度理论问题早在近代科学的启蒙时代就已被作为一项重要的研究主题了。在之后的各个世纪之中，不断有新的强度理论模型被提出，原有的种种理论模型亦不断地在实验结果的基础上被改进和调整；至 20 世纪时，已经有了四大基本强度理论作为核心、种种其他强度理论作为主体的完整理论体系，并仍在随着科学与工程实践的前进而不断完善。

材料理论的研究十分广泛，但其进展相对缓慢。这种缓慢，主要来自于强度理论所面对问题的复杂性，与强度理论本身所要求的简洁性之间所存在着的固有矛盾。一方面，我们希望强度理论能够普遍适用于各种材料、各种应力状态，无论这些应力状态是简单还是复杂；另一方面，我们又往往要求被采用的强度理论具有相对简洁的数学形式，以便于实际的计算、校核或装入计算机系统。这样高的要求，使得材料强度理论的发展和推广应用十分缓慢，每一个强度理论的发展、完善和验证（在实验与实际应用场景中）都往往需要几十年甚至上百年的时间。同时，由于其所面对之问题的复杂性、材料与应力状态的多样性，直到 20 世纪中叶之前，绝大多数科学家都认为难以找到一个统一的理论以应用于各种结构材料之上。例如：

• 1901 年，德国的几位著名科学家 J. Banuschinger、O. Mohr、 A. Föppl、 W. Voigt 和 L. Prandtl 经过大量的材料强度试验，发现当时提出的各个材料强度理论都不能很好的适用于多种材料的实验结果。由此，他们得出结论：「强度理论问题是非常复杂的，要想提供一个单独的理论应用到所有各种结构材料上是不可能的。² 」

• 苏联科学院院士 Фридманр 和 Давиденков 在 20 世纪 40 年代做了探索统一强度理论的尝试，未获成功³。
• 到 20 世纪 50 年代，现代工程力学之父 Timoshenko 也认为，统一强度理论的提出仍然遥遥无期。

从 20 世纪 60 年代开始，西安交通大学的俞茂宏开始在材料强度理论方面取得一系列的新成果，并最终提出了统一强度理论（Unified Strength Theory, UST）。目前，统一强度理论的结果已在大量的材料试验与工程实践中得到证实，并被越来越多的应用到各种场合之下。本文计划先讨论教科书上常见的四大经典强度理论，分析它们的出发点与局限之处；之后，再介绍由俞茂宏所提出的双剪统一强度理论体系，回顾其发展历程，并分析其相较于传统理论所具有的优势。

1 四大经典强度理论及其局限

在目前通行的材料力学教科书上，都有关于四大经典强度理论的内容。这四大强度理论分别是：

• 第一强度理论：即最大拉应力理论，认为最大拉应力是引起材料破坏的主要因素，相当应力 \(\sigma_{r1}=\sigma_1\)。
• 第二强度理论：即最大拉应变理论，认为最大拉应变是引起材料破坏的主要因素，相当应力 \(\sigma_{r2}=\sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3)\)。
• 第三强度理论：即最大切应力理论，认为最大切应力是引起材料屈服破坏的主要因素，相当应力 \(\sigma_{r3}=\sigma_1-\sigma_3\)。
• 第四强度理论：即最大形状改变比能理论，认为均方根切应力（表征了材料的形状改变比能）能够表征材料破坏的临界点，相当应力 \(\sigma_{r4}=\sqrt{\frac12[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2]}\)。

这几条强度理论提出于不同的历史时期，来自于对材料破坏现象的不同考量方式，因此也就有着不同的适用范围，各自均不能作为一种普适的理论应用于一切场合之下。

第一强度理论最早由 Galileo 在其著作《关于两门新科学的对话》中提出，其诞生同时也标志着材料强度理论作为一项正式的科学问题首次被提出；至 1858 年，由英国工程师及物理学家 Rankine 在其《应用力学手册》中进行了全面的阐述。这一强度理论着眼于材料在受拉情况下发生脆性断裂的原因，因此适用于砖石、玻璃、铸铁等脆性材料受拉时的破坏强度判定。同时，由于仅仅考虑了脆性材料的受拉状态，因此其既不能应用于塑性材料的破坏现象，亦不能在没有拉应力（如三向压缩的应力状态）的场合下使用。

第二强度理论最早由法国物理学家 Mariotte 在 1682 年以「伸长断裂」的概念提出，后由法国数学家 Poncelet 表述为「最大应变假设」。到 1856 年时，法国力学家 Saint-Venant 建议以「最大（拉）应变」作为材料极限强度的设计准则，第二强度理论才正式作为一条判定依据被应用于工程实践当中。这一理论能很好地解释个别以第一强度理论难以解释的材料破坏现象，如脆性材料受轴向压缩时沿纵向截面开裂的现象等。同时，这一强度理论也同时考虑到了三个主应力 \(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\) 的作用，因此在形式上较第一强度理论更为完备。尽管如此，这一强度理论却没有能够取得预期的成功；事实上，其仅与部分脆性材料在特殊应力状态下的破坏现象相吻合，并没有能够具有其所预言的普适性。由于这一原因，其已很少在工程实践中得到使用，仅作为强度理论发展历史上的一个阶段性成果保留了其在四大强度理论体系中的地位。

第三强度理论最早由法国物理学家 Coulomb 表述于 1773 年。1864 年，塑性力学之父 Tresca 对这一强度理论做了详尽的阐述，并从实验上对其给予了验证。第三强度理论的提出，与同时期人类科技的进步有着密切的关系；在此时期，随着工业革命的持续进行，以钢铁为代表的塑性材料逐渐被引入到建筑、机械等各个领域之中，原有的针对脆性材料的第一与第二强度理论已不能满足实际问题的需要。而第三强度理论所提出的「以最大切应力」为准的判定标准，恰恰契合于大多数塑性材料「抗剪弱于抗拉」的特性，因此很快就被应用于各方面的工程应用之中。第三强度理论的局限在于未考虑到中间主应力 \(\sigma_2\) 的影响，且其对于破坏强度的估计相对保守，因而也就需要在设计时耗费更多的材料。

第四强度理论最早由波兰力学家 Huber 以「歪形能最大」的视角在 1904 年提出，后又由奥地利物理学家 von Mises 以「屈服圆方程」的名义在 1913 年独立提出。与第三强度理论相较，其考虑到了中间应力\(\sigma_2\)对塑性破坏的影响，在一些场合下较第三强度理论更为符合实验的结果，同时也更能充分地发挥材料的强度潜力，更为节省材料。因此，在实际的强度计算过程中，如果塑性材料的应力状态在第四强度理论下被认为是安全的，则其是否满足第三强度理论的要求就无关紧要了。虽然这一强度理论具有以上的种种优势，但其仍然不是一条普遍适用的判定准则，在许多材料和受力状态下其相较于实验结果仍然有很大的偏离。

对以上的几种强度理论做一个对比分析，我们可以发现，这四大经典强度理论都具有这样的一些特点：

• 它们都是从某一特定类型材料的特定破坏现象入手来考虑材料强度的。例如，第一、二强度理论是从材料的脆性断裂入手，结合脆性材料抗拉强度低的特性而得出的理论假设，它们当然不能适用于抗拉强度较高的塑形材料；第三、四强度理论则是从材料的塑形屈服现象入手，因此其也就不能应用于许多的脆性断裂现象。同时，它们也未能考虑到一些特殊的应力状态，致使这些强度理论在处理特殊应力状态时往往失效。
• 这些强度理论都企图仅通过材料的少数特性（如在第二强度理论中出现的材料 Poisson 比 \(\mu\)）或不通过材料的特性而直接得出材料的强度极限，这显然是忽视了不同材料的破坏机理。因此，即使是针对某一类材料而提出的强度理论，也往往不能适用于这一类材料的各种特例情形。
• 这些强度理论的判定准则十分简洁，便于计算，但也因此失去了对各种特殊情况自我调适的能力，因而适用性相对较差。

为了改进经典强度理论在各种实际问题中所面临的困难，不断有新的研究者提出应用范围更广的强度理论，亦有人针对特定的问题提出精度更高的专用强度理论。到目前为止，各国学者所提出的强度假设与理论，已达数百个之多；作为其中的一项杰出代表，下面要着重介绍由西安交通大学的俞茂宏教授所提出的双剪统一强度理论体系。

2 从双剪强度理论到统一强度理论

从 20 世纪 60 年代开始，我国的俞茂宏开始从一条新的路径研究材料的强度理论，并最终构建起一个完整的强度理论系统——双剪统一强度理论。其所取得的成果大致可逐条罗列如下：

• 1961 年，提出了双剪应力屈服准则及十二变形双剪应力屈服准则；
• 1983 年，提出了广义双剪强度理论；
• 1991 年，在前人工作的基础上，创造性的提出了统一强度理论，解决了这一领域多年以来悬而未决的难题，将过去已有的若干强度理论统一于同一个框架之下。

双剪统一强度理论体系的提出，不仅是在之前强度理论之上的优化与创新，更标志着强度理论的系统化、统一化，有利于强度理论在各种实际工程领域中的应用，亦有助于对新材料的强度进行研究。到目前为止，俞茂宏的这一理论体系已经为越来越多的国内外研究人员所接受，并在一些大型工程项目中得到了采纳与验证。可以预见，这一理论体系还将得到不断的完善，以使其更好的契合于不同材料在不同应力状态下的失效形式。

2.1 双剪强度屈服准则

针对材料的塑形屈服所提出的第三强度理论与第四强度理论，都是针对材料所受的剪应力而进行分析的——也就是说，它们均认为材料的塑形破坏在于剪应力过大。它们的区别是：第三强度理论主要着眼于最大的剪应力，以此为唯一的判定标准；第四强度理论在「能量最小」的理论基础之上，将三个方向上的剪应力加权平均，以这一平均值作为判定标准。

俞茂宏认为，这两种判定准则都有各自的局限：第三强度理论忽视了另外两个方向上的剪应力所产生的影响，自不必提；第四强度理论则将三个方向上的剪应力以同等方式看待，没有注意到这三个剪应力存在着内部联系，因此仅仅表现出数学上的合理性，而不符合剪应力本身所具有的物理意义。事实上，由于 \(\tau_{12} - (\tau_{23} + \tau_{13}) = \frac12[(\sigma_1 - \sigma_3) - (\sigma_2 - \sigma_3) - (\sigma_1 - \sigma_2)] = 0\) 故可以在三个剪应力之间建立一个等式，这表明三个剪应力并非相互独立的，其中的一个可以由另两个表出。基于这一事实，俞茂宏认为，对材料的塑形屈服，最值得考虑的标准应当是较大的两个剪应力之和；例如，若 \(\tau_{12}\geq\tau_{23}\)，则对应的相当应力应表示为 \(\sigma_r=\tau_{13}+\tau_{12}=\sigma_1-\frac12(\sigma_2+\sigma_3)\) 这一应力称为双剪应力；对应的屈服准则，即成为 \(\sigma_r\leq[\sigma]\)。这便是双剪强度屈服准则。

与第三或第四强度理论相较，双剪强度屈服准则在更为合理的理论基础上综合考虑了三个方向上主应力的影响，因而具有更大的适用性；另一方面，其优势也表现为：其能够在第四强度理论的基础上进一步发挥材料的强度潜力，从而更加节省材料，有利于提高工程项目的经济性。因此，这一强度理论在实际工程建设中已得到了广泛的应用。

然而，从双剪强度屈服准则的表述方式可以看出，其仍然是建立在一条与材料特性无关的假设之上，且理论中未包含任何与材料性质相关的参数。因此可以想见，其面临着与四大经典强度理论相同的问题：在应用于不同材料、不同场合之下时，实际结果必然与这一理论存在着不同程度的偏差。事实上，俞茂宏自己亦指出，这一强度理论仅能适用于 \(\tau_s=0.667\sigma_s\) 的情形，其对于材料的特性有所限定。其也不能直接应用于材料拉压强度不相等（\(\sigma_t\neq\sigma_c\)）的场合。

2.2 广义双剪强度理论

为了解决双剪强度理论不能适用于材料拉压强度不等情形的局限，俞茂宏于 1983 年进一步提出了广义双剪强度理论（简称为「双剪强度理论」）。其仿效 Mohr 对第三强度理论的修正，引入了拉压强度比 \(\alpha=\frac{\sigma_{tb}}{\sigma_{cb}}\)，并将双剪应力的表达式修正为

\[\sigma_r=\begin{cases}\sigma_1-\frac\alpha2(\sigma_2+\sigma_3), \sigma_2\leq\frac{\sigma_1+\alpha\sigma_3}{1+\alpha}\\\ \frac12(\sigma_1+\sigma_2)-\alpha\sigma_3, \sigma_2\geq\frac{\sigma_1+\alpha\sigma_3}{1+\alpha}\end{cases}\]

这样，双剪强度屈服准则就被推广到拉压异性材料中了。

与之前的屈服准则相较，广义双剪强度理论兼顾了拉压极限应力不等的情形，且在 \(\alpha=1\)（即拉压同性）的情形下退化为最简形式的双剪强度屈服准则，因此其可以被视为在双剪强度屈服准则上的一个重要进展。然而，这一强度理论仍然不能被视为是普适的；俞茂宏指出，这一强度理论的应用条件是剪切强度极限 \(\tau_b\) 满足 \(\tau_b=\frac{2\sigma_{tb}\sigma_{cb}}{2\sigma_{tb}+\sigma_{cb}}\)，而这显然并非一个普遍适用的条件。

2.3 统一强度理论

至 1991 年，俞茂宏在新的数学物理模型之下，提出了统一强度理论。首先，他在一系列前期工作中，构建了一个新的应力单元体：双剪单元体，如下图所示。

图1. 双剪单元体示意图

综合考虑单元体的所有应力分量及其对材料破坏的不同贡献，建立新的相当应力计算式为

\[\sigma_{uni}=\begin{cases} \tau_{13}+b\tau_{12}+\beta(\sigma_{13}+b\tau_{12}), \tau_{12}+\beta\sigma_{12}\geq\tau_{23}+\beta\sigma_{23}\\ \tau_{13}+b\tau_{23}+\beta(\sigma_{13}+b\tau_{23}), \tau_{12}+\beta\sigma_{12}\leq\tau_{23}+\beta\sigma_{23} \end{cases}\leq\sigma_0'\]

其中，\(\beta\) 与 \(\sigma_0'\) 均为材料常数，分别表征了材料的拉压异性程度和应力状态，可由实验测定为

\[\beta=\frac{1-\alpha}{1+\alpha}, \sigma_0'=\frac{2\sigma_{t0}}{1+\alpha}\]

而 \(b\) 是方程中可以自由选取的系数（\(0\leq b\leq1\)），表征了在考虑强度极限时对正应力与剪应力各自的偏重程度。在方程中若取 \(b=0\)，将得到第三强度理论（作者称之为单剪强度理论）的结果；若取 \(b=\frac12\)，则可得到第四强度理论（作者称之为三剪强度理论）结果之线性逼近；若取 \(b=1\)，则可得到双剪强度理论的结果。

这样，在同一组方程下，之前已有的若干准则都能很方便的被统一起来，这无疑便于在实际问题中据实选用；同时，在统一强度理论的框架之下，原先的那些强度理论都可被视为统一强度理论体系中的一个特例、一种极限情况，而那些不能为特定强度理论所概括的实验结果同样可以由对参数 \(b\) 的选取与拟合而在统一强度理论的框架之下找到其归宿，这使得这一套强度理论体系具有相当广阔的应用前景。

图 2. 双剪强度理论对其他经典理论的概括关系示意

俞茂宏归纳出统一强度理论具有如下的优点：

1. 统一强度理论是由线性方程表述的，易于分析，也容易应用于计算机之中；
2. 统一强度理论覆盖了从下限（单剪强度理论）到上限（双剪强度理论）之间的各种强度理论，可以适应于各种不同类型的材料；
3. 统一强度理论的物理含义清晰，数学表达简明美观；
4. 统一强度理论能够充分发挥材料的强度潜力，节省材料，有助于取得更大的经济效益；
5. 统一强度理论与现有的其他强度理论相互包容，它将其他强度理论作为特例或线性逼近包含其中，充分体现出这一理论体系所具有的和谐与自然属性。

统一强度理论的内容无疑是简洁、清晰的，但这一理论的提出和完善绝非易事。从理论的角度来说，提出一个强度理论可能被视为一种简单的数学技巧；但强度理论具有其特殊的工程应用背景，无论是在学理上多么坚实的强度理论都必须经受工程实践的检验，才能最终为科学界所采纳。统一强度理论体系正是这样一套经历了实践检验的完备体系，其可以被视为是中国人在现代力学领域少有的突破性成果；可以预期，统一强度理论在未来还将得到进一步的发展。

3 总结

强度理论是宏观力学领域中一个经久不衰的研究课题。由于工程应用方面的特殊要求，这一理论务必是在表达上简明、在原理上清晰而在应用范围上尽可能普适的，这就对强度理论的研究提出的非常苛刻的要求。

作为曾在历史上发挥过重要作用的强度理论，四大经典强度理论是教科书中必须涉及的内容，在大部分基本和常见的工程问题之中这些强度理论也可以被直接地应用。然而，针对更为一般的问题，如岩土材料的强度问题等，这些强度理论便无能为力了。作为一个完整的理论体系，由俞茂宏所提出的统一强度理论解决了之前各强度理论的局限性，将各种已知结果统摄于同一框架之下，并大大拓展了其针对不同形式材料的适用范围。其在发挥材料强度潜力、提高工程经济性方面做出了巨大贡献，已被广泛应用于新建的大型工程之中，并为越来越多的国内外研究者所采纳。

正如俞茂宏教授所言，强度理论是一门「既古老而又年轻的学科」，它始终建立在已有的工程实践结果和理论框架之上，并随着新的实验、新的工程实践和模拟分析的结果之推动而不断发展、不断完善。强度理论，在未来还有很大的发展空间，等待着研究人员在此方面作出更大的进展。