线性代数中几个特殊命题的证明

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这学期刚学习完线性代数,虽然说起来工科生的线性代数不算很难,不过如果要想学的更深入一些,则还有很多材料可供阅读与理解。最近时间不多,难以实践这样的设想;先把这学期所学的一点点内容做一些简单的整理,提高的工作得之后再抽时间来做了。

这次整理的是有关于矩阵秩的四个简单命题,不过我觉得这些命题的证明方法都具有一定的代表性,虽然不难理解,但还是有一些值得品味的地方。因此放在这里,分享给大家。

这几个命题的证明,都是我自己完成的,毕竟这种像练习题一样的命题,证明起来难度都不大。如果所学不多的话,证明方法大概也是大同小异的吧。

命题1:设 $\mathbf{A}_{n\times m},\mathbf{B}_{m\times n}$。若 $\mathbf{AB}=\mathbf{O}$,则 $r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\leq n$。

证明:若 $\mathbf{B}=\mathbf{O}$,结论必成立。反之,则 $\mathbf{B}$ 至少有一个非零列 $\mathbf{\beta_j}$。则

\[\mathbf{AB}=\mathbf{A}[\mathbf{\beta_1} \cdots \mathbf{\beta_j} \cdots \mathbf{\beta_n}]=[\mathbf{A\beta_1} \cdots \mathbf{A\beta_j} \cdots \mathbf{A\beta_n}]=\mathbf{O},\]

从而 $\mathbf{Ax=0}$ 至少有 $r(\mathbf{B})$ 个线性无关解。由此知

\[r(\mathbf{A})\leq n-r(\mathbf{B}),\]

移项即得所需证明的结果。

命题2:若 $\mathbf{A,B}$ 是同型矩阵,则有 $r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\geq r(\mathbf{A+B})$。

证明:设 $\mathbf{A}$ 的极大无关列向量组为

\[\{\alpha_{k_1},\cdots,\alpha_{k_{r(\mathbf{A})}}\}\]

$\mathbf{B}$ 的极大无关列向量组为

\[\{\beta_{k_1},\cdots,\beta_{k_{r(\mathbf{B})}}\}\]

那么显然, $\mathbf{A+B}$ 的列向量组必为 $\mathbf{A,B}$ 各自极大无关列向量组的并集之张成

\[\mathbf{P}=\mathrm{span}\{\alpha_{k_1},\cdots,\alpha_{k_{r(\mathbf{A})}},\beta_{k_1},\cdots,\beta_{k_{r(\mathbf{B})}}\},\]

而该向量组的秩 $r(\mathbf{P})$ 不超过作为张成”基底”的元素数,即 $r(\mathbf{P})\leq r(\mathbf{A)}+r(\mathbf{B})$。由此,便有

\[r(\mathbf{A+B})\leq r(\mathbf{P})\leq r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\]

命题3: $r(\mathbf{AB})\leq \min{r(\mathbf{A}),r(\mathbf{B})}$。

证明:设 $\mathbf{B}$ 的极大无关列向量组为 ${\beta_{k_1},\cdots,\beta_{k_{r(\mathbf{B})}}}$。则 $B$ 左乘 $A$ 后所得到的对应列变为

\[\mathbf{P}=\{\mathbf{A}\beta_{k_1},\cdots,\mathbf{A}\beta_{k_{r(\mathbf{B})}}\},\]

易见 $AB$ 的各列向量均属于 $\mathrm{span}\mathbf{P}$。但是如同命题2中那样,应当有 $r(\mathbf{P})\leq r(\mathbf{B})$ (如出现 $\mathbf{A}\beta_{k_m}=\mathbf{0}$ 等情况)。因此,可以得到

\[r(\mathbf{AB})\leq r(\mathbf{P})\leq r(\mathbf{B})\]

再利用转置关系和刚刚所得到的结论,便有

\(r(\mathbf{AB})=r(\mathbf{B}^T \mathbf{A}^T)\leq r(\mathbf{A}^T)=r(\mathbf{A}),\) 由此即知 $r(\mathbf{AB})\leq\max{r(\mathbf{A}),r(\mathbf{B})}$

命题4:设 $\mathbf{A}_{n\times n}$,则

\[r(\mathbf{A}^{\ast})= \begin{cases} n &, r(\mathbf{A})=n;\\ 1 &, r(\mathbf{A})=n-1;\\ 0 &, r(\mathbf{A})\leq n-2 \end{cases}\]

其中 $\mathbf{A}^{\ast}$ 为 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵。

证明:分情况考虑。

  • 若 $r(\mathbf{A})=n$,那么将有 $\lvert \mathbf{A}\rvert\neq 0$,进而 $\lvert \mathbf{A}^{\ast}\rvert=\lvert \mathbf{A}\rvert^{n-1}\neq 0$,故 $r(\mathbf{A}^{\ast})=n$;
  • 若 $r(\mathbf{A})=n-1$,那么必有 $\mathbf{A}^{\ast}\neq \mathbf{O}$ (此时 $\mathbf{A}$ 尚有 $n-1$ 阶非零余子式),从而得到

    \begin{equation} \label{eq:1} r(\mathbf{A}^{\ast})\geq 1 \end{equation}

    另一方面,由于 $\mathbf{A}$ 非满秩,故 $\lvert \mathbf{A}\rvert=0$,从而根据

    \[\mathbf{A}\mathbf{A}^{\ast}=\lvert \mathbf{A}\rvert\mathbf{I}=\mathbf{O}\]

    并利用命题1的结论,即可以知道 $r(\mathbf{A}^{\ast})+r(\mathbf{A})\leq n$,从而

    \begin{equation} \label{eq:2} r(\mathbf{A}^{\ast})\leq n-r(\mathbf{A})=1。 \end{equation}

    综合不等式 $\mbox{(\ref{eq:1})}$,$\mbox{(\ref{eq:2})}$,即得

    \(r(\mathbf{A}^{\ast})=1\).

  • 若 $r(\mathbf{A})\leq n-2$,那么 $\mathbf{A}$ 的所有 $n-1$ 阶余子式均为0,从而必有

    \[\mathbf{A}^{\ast}=\mathbf{O}\]

    由此便有

    \[r(\mathbf{A}^{\ast})=0.\]